1. 对任意整数 $k \geq 0$, 定义 $C_0^\infty (\mathbb{R})$ 上的线性泛函:
   $$\langle \delta^{(k)}, \varphi \rangle = (-1)^k \varphi^{(k)}(0),$$
   其中 $\varphi^{(k)}$ 指的是求 $k$ 次导数. 证明, 这定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布并且其阶恰好为 $k$.

2. 定义 $C_0^\infty (\mathbb{R})$ 上的线性泛函:
   $$\langle u, \varphi \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} \varphi^{(k)}(0).$$
   证明, 这定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布然而我们不能定义它的阶.

3. 证明, $\text{vp} \, \frac{1}{x}$ 的阶为 1.

4. 证明, 如果试验函数 $\varphi \in C_0^\infty (\mathbb{R})$ 满足 $\varphi(0) = 0$, 那么
   $$\left\langle \text{vp} \, \frac{1}{x}, \varphi \right\rangle = \int_{\mathbb{R}} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} \, dx.$$

5. 证明, $\mathbb{R}_{>0}$ 上的函数
   $$f(x) = e^{\frac{1}{x}} \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)$$
   不能延拓为 $\mathbb{R}$ 上的一个分布, 即不存在 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, 使得对任意的 $\varphi \in \mathcal{D}((0, \infty))$, 我们都有
   $$\langle u, \varphi \rangle = \int_0^{\infty} \frac{1}{x} \varphi(x) \, dx.$$

6. 对任意的 $\varepsilon > 0$, 我们令
   $$f_\varepsilon (x) = \frac{1}{x} \mathbf{1}_{(-\infty, -\varepsilon) \cup (\varepsilon, +\infty)}(x).$$
   证明, 当 $\varepsilon \to 0$ 时, $f_\varepsilon$ 在分布的意义下有极限并计算该极限.

7. 对任意的 $\varepsilon > 0$, 我们定义
   $$g_\varepsilon (x) = \frac{1}{x} \mathbf{1}_{(-\infty, -\varepsilon^2) \cup (\varepsilon^2, +\infty)}(x).$$
   我们把它们看作是 $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ 中的一族分布. 证明, 当 $\varepsilon \to 0$ 时, $g_\varepsilon$ 在分布的意义下是没有极限的.

8. 假设 $\mu$ 是 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率测度, 即 $\mu(\mathbb{R}) = 1$. 令 $f(x) = \mu((-\infty, x))$, 证明在分布的意义下
   $$f' = \mathcal{D}'(\mathbb{R}) = \mu.$$

9. 反过来任给定 $\mathbb{R}$ 上的单调递增的函数 $f(x)$, 满足
   $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.$$
   证明, 其分布意义下的导数 $f'$ 可以被视为是 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 上的概率测度, 即存在概率测度 $\mu$, 使得对任意的 $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们有
   $$\langle f', \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}} \varphi \, d\mu.$$

10. 对于 $\alpha \in \mathbb{R}$, 在 $\mathbb{R}$ 上定义函数
    $$x_+^{\alpha} = \begin{cases} x^{\alpha}, & x > 0; \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$$
    显然当 $\alpha > -1$ 时, $x_+^{\alpha}$ 局部可积, 因而给出 $\mathbb{R}$ 上的一个分布. 当 $\alpha > 0$ 时, 证明
    $$(x_+^{\alpha})' = \alpha (x_+^{\alpha-1}).$$

11. 如果 $\alpha$ 为正整数, 作为 $\mathbb{R}$ 上的分布（以及分布的导数）证明
    $$(x_+^{\alpha})^{(\alpha)} = \alpha! H(x).$$
    这里 $H(x)$ 是 Heaviside 函数.

12. 现在假设 $-2 < \alpha < -1$, 对任意 $\varphi \in C_0^\infty (\mathbb{R})$ 以及任意 $\varepsilon > 0$, 证明
    $$\int_{\varepsilon}^{\infty} x^{\alpha} \varphi(x) \, dx = -(\alpha + 1)^{-1} \varphi(\varepsilon) \varepsilon^{\alpha + 1} - (\alpha + 1)^{-1} \int_{\varepsilon}^{\infty} x^{\alpha + 1} \varphi'(x) \, dx.$$
    由此可以定义分布
    $$\langle x_+^{\alpha}, \varphi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} (\alpha + 1)^{-1} \int_{\varepsilon}^{\infty} x^{\alpha + 1} \varphi'(x) \, dx = (\alpha + 1)^{-1} \langle (x_+^{\alpha + 1})', \varphi \rangle.$$
    对于一般的 $\alpha < -1$ 非整数, 都可以类似定义, 并且满足第 10 题中的关系式.

13. 试找出一切 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下
    $$x \cdot u = 0.$$

14. 找出所有 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u$ 使得
    $$x \cdot u = \delta_0.$$

15. 证明, 对每个 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, 存在 $\tilde{u} \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下
    $$x \cdot \tilde{u} = u.$$

16. 找出所有 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u$ 使得
    $$x \cdot u = 1.$$

17. 找出所有 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u$ 使得
    $$x \cdot u = \text{pv} \, \frac{1}{x}.$$

18. 找出所有 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u$ 使得
    $$x \cdot u = x_+^{\alpha},$$
    其中 $\alpha < -1$ 且不是整数.

19. 试找出所有的 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, 使得在分布的意义下, 我们有
    $$u + x \cdot u' = 0.$$

20. 对试验函数 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ 以及实数 $\lambda \neq 0$, 定义
    $$\varphi_{\lambda}(x) = \varphi \left( \frac{x}{\lambda} \right).$$
    对于分布 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$, 定义分布 $u_{\lambda}$ 为
    $$\langle u_{\lambda}, \varphi \rangle = \langle u, |\lambda|^n \varphi_{\lambda} \rangle.$$
    如果对每个 $\lambda > 0$ 都有
    $$u_{\lambda} \overset{\mathcal{D}'}{=} \lambda^d u,$$
    就称 $u$ 为次数是 $d$ 的 齐次分布, 其中 $d \in \mathbb{R}$. 证明, $\text{vp} \, \frac{1}{x}$ 和 $x_+^{\alpha}$（其中 $\alpha < -1$ 且非整数）是 $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ 上的齐次分布并确定它们的次数.

21. 证明, $\delta_0$ 是 $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 上的齐次分布并确定其次数.

22. 假设 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 上的 $d$ 次齐次分布, 证明 $\partial_{x_i} u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 是 $d - 1$ 次的齐次分布.

23. 任意给定 $u_1, u_2, \dots, u_N \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 上 $N$ 个齐次分布, 如果它们的次数互不相同, 证明它们在 $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 中是线性无关的.

24. 任意给定试验函数 $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, 任意给定正实数 $\lambda$ 和 $\lambda_0$, 我们定义
    $$\varphi_{\lambda}(x) = \frac{\varphi_{\lambda}(x) - \varphi_{\lambda_0}(x)}{\lambda - \lambda_0}.$$
    证明, 当 $\lambda \to \lambda_0$ 时, 上述函数在 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 中有极限并计算该极限.

25. (齐次分布的 Euler 公式) 任意给定 $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$, $d \in \mathbb{R}$. 证明, $u$ 是 $d$ 次齐次分布当且仅当
    $$\sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial u}{\partial x_k} = d \cdot u.$$

26. 试找出 $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^1)$ 中所有次数为 0 和 1 的齐次分布.