1. 在分布的意义下证明
   $$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon}{\pi (x^2 + \varepsilon^2)} = \delta_0.$$

2. 当任意 $\varepsilon > 0$, $\frac{1}{x+i\varepsilon}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的局部可积函数. 作为 $\mathbb{R}$ 上的分布, 证明
   $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{x+i\varepsilon} \overset{\mathcal{D}'}{=} \text{vp} \frac{1}{x} - i\pi \delta_0.$$
   极限分布也可以写成 $\frac{1}{x+i0}$.

3. 作为 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u_n(x) = x^{-1} \sin(nx)$, 计算分布空间 $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ 中的极限 $\lim_{n \to \infty} u_n$.

4. 我们用 $|\mathbf S^{n-1}|$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中单位球面 $\mathbf S^{n-1}$ 的面积. 令
   $$E = \frac{|x|^{2-n}}{(2-n)|\mathbf S^{n-1}|}.$$
   证明在分布的意义下有
   $$\Delta E \overset{\mathcal{D}'}{=} \delta_0.$$

5. 假设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是开集, $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$, 满足
   $$\Delta u = f,$$
   其中 $f \in C^\infty(\Omega)$ 是光滑函数, 那么 $u \in C^\infty(\Omega)$.

6. 假定 $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^3)$ (有紧支集的分布). 证明存在常数 $C_1 > 0$ (可以依赖于分布 $f$), 使得当 $|x| \to \infty$ 时有
   $$|E * f(x)| \leq \frac{C_{1}}{|x|}.$$

7. 假定 $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^3)$. 证明 $u = E * f$ 是下面的位势方程的解
   $$\Delta u = f.$$
   并且存在常数 $C_2 > 0$, 使得当 $|x| \to \infty$ 时有
   $$\left| u(x) - \frac{\langle f, 1 \rangle}{4\pi |x|} \right| \leq \frac{C_2}{|x|^2}.$$
   根据不同的物理情景, $\langle f, 1 \rangle$ 表示的是 $u$ 的总质量或者总电量.

8. 假设 $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ 是实值函数, 定义符号函数 $\operatorname{sign}(u)$ 为
   $$\operatorname{sign}(u)(x) = \begin{cases} 1, & u(x) > 0; \\ 0, & u(x) = 0; \\ -1, & u(x) < 0. \end{cases}$$
   证明, 在分布的意义下有
   $$\Delta |u| \overset{\mathcal{D}'}{\geq} \Delta u \cdot \operatorname{sign}(u),$$
   即对任意非负实值函数 $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^3)$, 都有
   $$\langle \Delta |u|, \varphi \rangle \geq \langle \Delta u \cdot \operatorname{sign}(u), \varphi \rangle,$$
   提示: 先在分布的意义下用 $\sqrt{u^2 + \varepsilon^2}$ 来逼近 $u$.