1. 如果 $m(E)<\infty$, 证明
   $$\|f\|_{L^\infty} = \lim_{p\to\infty} \|f\|_{L^p}.$$

2. 如果 $m(E)<\infty$, 证明包含关系
   $$L^p(E) \subset L^q(E), \quad \forall \, 0 < q \leq p \leq \infty.$$

3. 证明对任意 $1 \leq p \neq q \leq \infty$, 包含关系不成立 $L^p(\mathbb{R}^d) \not\subset L^q(\mathbb{R}^d)$.

4. 对任意 $f \in L^p(E)$ 以及 $0 < r < p < s \leq \infty$, 存在分解 $f = g + h$ 使得 $g \in L^r(E), h \in L^s(E)$.

5. 对任意的 $p, q, r \in [1, \infty]$ 满足
   $$\frac{1}{p} = \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$$
   证明
   $$\|fg\|_{L^p} \leq \|f\|_{L^q} \|g\|_{L^r}.$$

6. 假设函数 $f : [0, \infty) \to \mathbb{R}$ 满足对常数 $1 \leq p < \infty, \, 0 < q < \infty$ 有
   $$\int_0^\infty |f(x)|^p x^{p-q-1} dx < \infty.$$
   定义 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$, 证明不等式
   $$\int_0^\infty |F(x)|^p x^{p-q-1} dx \leq \left(\frac{p}{q}\right)^p \int_0^\infty |f(x)|^p x^{p-q-1} dx.$$

7. 如果 $0 < q \leq p \leq s \leq \infty$, 那么存在 $\theta \in [0, 1]$ 使得
   $$\frac{1}{p} = \frac{\theta}{q} + \frac{1-\theta}{s}.$$
   对任意 $f \in L^q \cap L^s$, 有 $f \in L^p$ 并且
   $$\|f\|_{L^p} \leq \|f\|_{L^q}^\theta \|f\|_{L^s}^{1-\theta}.$$

8. 证明平移算子 $\tau_h$ 在 $L^p$ 中是连续的, 即是证明
   $$\lim_{h \to 0} \|\tau_h f - f\|_{L^p} = 0.$$

9. 假设 $f \in L^p([0, 1])$, $1 \leq p \leq \infty$ 满足
   $$\int_0^1 t^k f(t) dt = 0, \quad \forall k = 0, 1, 2, \dots,$$
   证明 $f = 0, \, a.e.$.

10. 证明 $L^\infty$ 不是可分的.